Déménagement Moyenne Filtre Bode Parcelle

Réponse en fréquence du filtre de moyenne courante La réponse en fréquence d'un système LTI est le DTFT de la réponse impulsionnelle. La réponse impulsionnelle d'une moyenne mobile de L-échantillon est. Puisque le filtre de moyenne mobile est FIR, la réponse en fréquence se réduit à la somme finie On Peut utiliser l'identité très utile pour écrire la réponse en fréquence comme où nous avons laisser ae minus jomega. N 0 et M L moins 1. On peut s'intéresser à l'ampleur de cette fonction afin de déterminer quelles fréquences passent par le filtre sans atténuation et qui sont atténuées. Ci-dessous un graphique de l'ampleur de cette fonction pour L 4 (rouge), 8 (vert) et 16 (bleu). L'axe horizontal va de zéro à pi radians par échantillon. Notez que dans les trois cas, la réponse en fréquence a une caractéristique passe-bas. Une composante constante (fréquence zéro) dans l'entrée passe par le filtre sans atténuation. Certaines fréquences plus élevées, telles que pi 2, sont complètement éliminées par le filtre. Cependant, si l'intention était de concevoir un filtre passe-bas, alors nous n'avons pas très bien fait. Certaines des fréquences plus élevées sont atténuées seulement par un facteur d'environ 110 (pour la moyenne mobile à 16 points) ou 13 (pour la moyenne mobile à quatre points). Nous pouvons faire beaucoup mieux que cela. Le diagramme ci-dessus a été créé par le code Matlab suivant: omega 0: pi400: pi H4 (14) (1-exp (-iomega4)) (1-exp (-iomega)) H8 (18) Iomega8)) (1-exp (-iomega)) tracé (oméga, abs (H4) abs (H8) abs (1-exp (-iomega) H16)) (0, pi, 0, 1) Copie de copyright 2000- - Université de Californie, BerkeleyLecture 12: Filtrage Sujets couverts: Relation à la propriété de convolution de la transformée de Fourier Filtres sélectifs de fréquence idéaux et non idéaux: Caractéristiques du domaine temporel Filtres sélectifs en fréquence en temps continu décrits par des équations différentielles Filtres passe-bas et passe-haut RC Filtres discrets à fréquence discrète sélectionnés par équations de différence Filtres à moyenne mobile Filtres récursifs à temps discret Démonstration: un regard sur le filtrage Une salle de contrôle audio commerciale. Instructeur: Prof. Alan V. Oppenheim Lecture 1: Introduction Leçon 2: Signaux et Syst. Conférence 3: Signaux et Syst. Conférence 4: Convolution Lecture 5: Propriétés de Li. Conférence 6: Systèmes Represen. Leçon 7: Temps continu. Leçon 8: Temps continu. Conférence 9: Fourier Transfor. Lecture 10: Temps discret F. Lecture 11: Temps discret F. Lecture 12: Filtrage Lecture 13: Temps continu. Conférence 14: Démonstration o. Lecture 15: Discret-Temps M. Lecture 16: Échantillonnage Lecture 17: Interpolation Lecture 18: Discret-Temps P. Lecture 19: Discret-Temps S. Lecture 20: Laplace Tra. Lecture 21: Temps continu. Conférence 22: La Conférence z-Transformer 23: Cartographie Continue. Conférence 24: Butterworth Fil. Lecture 25: Feedback Lecture 26: Feedback Exampl. Ressources associées Le contenu suivant est fourni sous une licence Creative Commons. Votre soutien aidera MIT OpenCourseWare continuer à offrir des ressources pédagogiques de haute qualité gratuitement. Pour faire un don ou voir des documents supplémentaires provenant de centaines de cours MIT, visitez MIT OpenCourseWare à ocw. mit. edu. PROFESSEUR: En discutant les transformées de Fourier en temps continu et en temps discret, nous avons développé un certain nombre de propriétés importantes. Deux facteurs particulièrement significatifs, comme je l'ai mentionné à l'époque, sont la propriété de modulation et la propriété de convolution. A partir de la prochaine conférence, celle qui suit celle-ci, bien être de développer et d'exploiter certaines des conséquences de la propriété de modulation. Dans la conférence d'aujourd'hui, j'aimerais revoir et développer la notion de filtrage, qui, comme je l'ai mentionné, s'écoule plus ou moins directement à partir de la propriété de convolution. Pour commencer, permettez-moi juste d'examiner rapidement ce qu'est la propriété convolution. Tant pour le temps continu que pour le temps discret, la propriété de convolution nous dit que la transformée de Fourier de la convolution de deux fonctions temporelles est le produit des transformées de Fourier. Or, ce que cela signifie en termes de filtres linéaires invariants dans le temps, puisque nous savons que dans le domaine temporel la sortie d'un filtre linéaire invariant dans le temps est la convolution de l'entrée et de la réponse impulsionnelle, elle dit essentiellement alors dans le domaine fréquentiel Que la transformée de Fourier de la sortie est le produit de la transformée de Fourier de la réponse impulsionnelle, à savoir la réponse en fréquence, et la transformée de Fourier de l'entrée. Ainsi, la sortie est décrite à travers ce produit. Maintenant, rappelez-vous aussi qu'en développant la transformée de Fourier, j'ai interprété la transformée de Fourier comme l'amplitude complexe d'une décomposition du signal en termes d'un ensemble d'exponentielles complexes. Et la réponse en fréquence ou la propriété de convolution, en effet, nous dit comment modifier les amplitudes de chacune de ces exponentielles complexes lorsqu'elles traversent le système. Maintenant, cela a conduit à la notion de filtrage, où le concept de base était que puisque nous pouvons modifier les amplitudes de chacun des composants exponentiels complexes séparément, nous pouvons, par exemple, conserver certains d'entre eux et éliminer totalement d'autres. Et c'est la notion de base du filtrage. Ainsi, comme vous le rappelez-vous, tout d'abord la notion en temps continu d'un filtre idéal, par exemple, j'illustre ici un filtre passe-bas idéal où nous passons exactement des composantes de fréquence dans une bande et rejetons les composantes de fréquence dans une autre bande. La bande étant passée, bien sûr, appelée bande passante, et la bande rejetée comme bande d'arrêt. J'ai illustré ici un filtre passe-bas. Nous pouvons, bien sûr, rejeter les basses fréquences et conserver les hautes fréquences. Et cela correspond alors à un filtre passe-haut idéal. Ou nous pouvons simplement conserver les fréquences au sein d'une bande. Et donc je montre ci-dessous ce qui est communément appelé un filtre passe-bande. Maintenant, c'est ce que les filtres idéaux ressemblaient pour le temps continu. Pour le temps discret, nous avons exactement la même situation. A savoir, nous avons un filtre passe-bas temps discret idéal, qui passe exactement les fréquences qui sont les basses fréquences. Basses fréquences, bien sûr, étant autour de 0, et en raison de la périodicité, aussi autour de 2pi. Nous montrons également un filtre passe-haut idéal. Et un filtre passe-haut, comme je l'ai indiqué la dernière fois, passe les fréquences autour de pi. Et finalement, en dessous, je montre un filtre passe-bande idéal passant des fréquences quelque part dans la plage entre 0 et pi. Et rappelez-vous aussi que la différence fondamentale entre le temps continu d'un temps discret pour ces filtres est que les versions à temps discret sont, bien sûr, périodiques en fréquence. Maintenant, regardons ces filtres idéaux, et en particulier le filtre passe-bas idéal dans le domaine du temps. Nous avons la réponse en fréquence du filtre passe-bas idéal. Et ci-dessous est la réponse impulsionnelle. Voici donc la réponse en fréquence et en dessous la réponse impulsionnelle du filtre passe-bas idéal. Et cela, bien sûr, est un sine x sur x forme de réponse impulsionnelle. Et reconnaître aussi ou rappeler que puisque cette réponse en fréquence est réelle, la réponse impulsionnelle, en d'autres termes, la transformée inverse est une fonction pair du temps. Et remarquez aussi, puisque je veux me référer à cela, que la réponse impulsionnelle d'un filtre passe-bas idéal, en fait, est non causale. Cela découle, entre autres, du fait que sa fonction est égale. Mais gardez à l'esprit, en fait, qu'une fonction sinus x sur x va à l'infini dans les deux directions. Ainsi, la réponse impulsionnelle du filtre passe-bas idéal est symétrique et continue à avoir des queues à l'infini plus et moins. Maintenant, la situation est essentiellement la même dans le cas à temps discret. Examinons la réponse en fréquence et la réponse impulsionnelle associée pour un filtre passe-bas discret idéal. Donc, encore une fois, voici la réponse en fréquence du filtre passe-bas idéal. Et en dessous de ce que je montre la réponse impulsionnelle. Encore une fois, c'est un sine x sur x type de réponse impulsionnelle. Et là encore, nous reconnaissons que dans le domaine fréquentiel, cette réponse en fréquence est réelle. Cela signifie, en conséquence des propriétés de la transformée de Fourier et de la transformée de Fourier inverse, que la réponse impulsionnelle est une fonction pair dans le domaine temporel. Et aussi, incidemment, la fonction sinus x sur x va à l'infini, encore une fois, dans les deux directions. Maintenant, nous avons parlé des filtres idéaux dans cette discussion. Et les filtres idéaux sont tous, en fait, idéaux dans un certain sens. Ce qu'ils font idéalement est qu'ils passent une certaine bande de fréquences exactement et ils rejettent une bande de fréquences exactement. D'autre part, il ya beaucoup de problèmes de filtrage dans lesquels, en général, nous n'avons pas une nette distinction entre les fréquences que nous voulons passer et les fréquences que nous voulons rejeter. Un exemple de ce qui est développé dans le texte est la conception d'un système de suspension automobile, ce qui, en fait, est la conception d'un filtre passe-bas. Et essentiellement ce que vous voulez faire dans un cas comme celui-ci est de filtrer ou d'atténuer les variations de route très rapide et de garder les variations inférieures, bien sûr, l'élévation de l'autoroute ou la route. Et ce que vous pouvez voir intuitivement, c'est qu'il n'y a pas vraiment une distinction très nette ou forte coupure entre ce que vous appelleriez logiquement les basses fréquences et ce que vous appelleriez les hautes fréquences. Maintenant, aussi quelque peu lié à ceci est le fait que, comme nous l'avons vu dans le domaine du temps, ces filtres idéaux ont un caractère très particulier de caractère. Par exemple, regardons en arrière sur le filtre passe-bas idéal. Et nous avons vu la réponse impulsionnelle. La réponse impulsionnelle est ce que nous avons montré ici. Examinons maintenant la réponse en échelon du filtre passe-bas idéal en temps discret. Et remarquez le fait qu'il a une queue qui oscille. Et quand l'étape frappe, en fait, il a un comportement oscillatoire. Maintenant, exactement la même situation se produit en temps continu. Examinons la réponse en échelon du filtre passe-bas idéal en temps continu. Et ce que nous voyons est que quand une étape frappe alors, en fait, nous obtenons une oscillation. Et très souvent, cette oscillation est quelque chose qui est indésirable. Par exemple, si vous conceviez un système de suspension automobile et que vous frappiez une courbe, ce qui est une entrée étape, en fait, vous n'auriez probablement pas envie d'avoir l'automobile oscillant, la mort en bas dans l'oscillation. Maintenant, il ya un autre point très important, qui à nouveau, nous pouvons voir soit en temps continu ou discret-temps, qui est que même si nous voulons qu'il ait un filtre idéal, le filtre idéal a un autre problème si nous voulons essayer de mettre en œuvre En temps réel. Quel est le problème Le problème est que puisque la réponse impulsionnelle est uniforme et, en fait, a des queues qui vont au plus et moins l'infini, son non-causal. Donc, si, en fait, nous voulons construire un filtre et le filtre est limité à fonctionner en temps réel, alors, en fait, nous ne pouvons pas construire un filtre idéal. Donc, ce que cela signifie, c'est que, dans la pratique, bien que les filtres idéaux sont agréables à penser et peut-être se rapportent à des problèmes pratiques, plus typiquement ce que nous considérons sont des filtres nonidés et dans le cas discret, un filtre nonideal alors nous aurions une caractéristique Un peu comme Ive indiqué ici. Au lieu d'une transition très rapide de la bande passante à la bande d'arrêt, il y aurait une transition plus graduelle avec une fréquence de coupure de bande passante et une fréquence de coupure de bande de blocage. Et peut-être aussi au lieu d'avoir une caractéristique exactement plate dans la bande d'arrêt dans la bande passante, nous permettrait une certaine quantité d'ondulation. Nous avons également exactement la même situation en temps continu, où ici tout simplement simplement changer notre axe de fréquence à un axe de fréquence continue au lieu de l'axe de fréquence discret. Encore une fois, on pourrait penser en termes d'une ondulation de bande passante admissible, une transition de bande passante à bande stop avec une fréquence de coupure de bande passante et une fréquence de coupure de bande de blocage. Donc, la notion ici est que, de nouveau, les filtres idéaux sont idéaux à certains égards, pas idéal à d'autres égards. Et pour de nombreux problèmes pratiques, nous ne les voulons peut-être pas. Et même si nous les voulions, nous pourrions ne pas être en mesure de les obtenir, peut-être en raison de cette question de la causalité. Même si la causalité n'est pas un problème, ce qui se passe dans la conception et la mise en œuvre du filtre, en fait, est que plus le résultat est net, plus le filtre coûte cher, en quelque sorte, le filtre devient, Ou en termes de calcul en temps discret. Et donc il ya toute cette variété de questions qui rendent vraiment important de comprendre la notion de filtres nonides. Maintenant, juste pour illustrer à titre d'exemple, permettez-moi de vous rappeler un exemple de ce qui, en fait, est un filtre passe-bas nonideal. Et nous avons examiné précédemment l'équation différentielle associée. Permettez-moi maintenant, en fait, de le relier à un circuit, et en particulier un circuit RC, où la sortie pourrait soit être à travers le condensateur ou la sortie peut être à travers la résistance. Donc, en fait, nous avons deux systèmes ici. Nous avons un système, qui est la fonction du système de la source de tension d'entrée à la sortie du condensateur, le système de l'entrée de la source de tension à la sortie de la résistance. Et, en fait, juste en appliquant la loi de tension de Kirchhoffs à ceci, nous pouvons relier ceux d'une manière très directe. Il est très simple de vérifier que le système de l'entrée à la sortie de la résistance est simplement le système d'identité avec la sortie du condensateur soustrait de lui. Maintenant, nous pouvons écrire l'équation différentielle pour l'un de ces systèmes et, comme nous avons parlé de la dernière fois dans les dernières conférences, résoudre cette équation en utilisant et en exploitant les propriétés de la transformée de Fourier. En fait, si nous considérons l'équation différentielle reliant la sortie du condensateur à l'entrée de la source de tension, nous reconnaissons qu'il s'agit d'un exemple qui, en fait, a déjà été résolu. Ainsi, en appliquant la transformée de Fourier à l'équation différentielle et en générant la fonction système en prenant le rapport de la tension du condensateur ou de sa transformée de Fourier à la transformée de Fourier de la source, nous avons alors la fonction système associée à la Pour lequel la sortie est la tension du condensateur. Ou si nous résolvons à la place pour la fonction système associée à la sortie de la résistance, nous pouvons simplement soustraire H1 de l'unité. Et la fonction système que nous obtenons dans ce cas est la fonction système que je montre ici. Ainsi, nous avons maintenant deux fonctions système, une pour la sortie du condensateur, l'autre pour la sortie de la résistance. Et un, le premier, correspondant à la sortie du condensateur, en fait, si nous le tracer sur une échelle d'amplitude linéaire, ressemble à cela. Et comme vous pouvez le voir, et comme nous l'avons vu la dernière fois, est une approximation d'un filtre passe-bas. Il s'agit, en fait, d'un filtre passe-bas non-résidentiel, alors que la sortie de la résistance est une approximation d'un filtre passe-haut ou, en fait, d'un filtre passe-haut non non. Donc dans un cas, juste en comparant les deux, nous avons un filtre passe-bas comme la sortie du condensateur associé à la sortie du condensateur, et un filtre passe-haut associé à la sortie de la résistance. Laisse juste regarder rapidement cet exemple maintenant, en regardant un complot de Bode, au lieu de sur l'échelle linéaire que nous avons montré avant. Et rappelez-vous incidemment, et soyez conscient incidemment, du fait que nous pouvons naturellement cascader plusieurs filtres de ce type et améliorer les caractéristiques. J'ai donc montré en haut un graphique Bode de la fonction système associée à la sortie du condensateur. Son plan à une fréquence correspondant à 1 sur la constante de temps, RC. Et puis il tombe à 10 dB par décennie, une décennie étant un facteur de 10. Ou si l'on regarde plutôt la fonction système associée à la sortie de la résistance, qui correspond à une augmentation de fréquence de 10 dB par décennie jusqu'à approximativement la réciproque De la constante de temps, puis s'approcher d'une caractéristique plane après cela. Et si l'on considère l'un ou l'autre de ceux-ci, en regardant en arrière sur le filtre passe-bas, si nous devions cascader plusieurs filtres avec cette réponse en fréquence, alors parce que nous avons des choses tracées sur un tracé de Bode, le tracé de Bode pour la cascade serait simplement la sommation celles-ci. Par conséquent, si l'on met en cascade, par exemple, deux étages au lieu d'un roll-off à 10 dB par décennie, il roule à 20 dB par décennie. Maintenant, les filtres dans ce type, les filtres RC, peut-être plusieurs d'entre eux en cascade, sont en fait très répandue. Et en fait, dans un environnement comme celui-ci, où étaient, en fait, faire l'enregistrement, nous voyons qu'il ya des filtres de ce type qui se présentent très souvent à la fois dans la partie audio et la vidéo du traitement du signal qui est associé à la fabrication de cet ensemble De bandes. En fait, regardons dans la salle de contrôle. Et ce que Ill être en mesure de vous montrer dans la salle de contrôle est la partie audio du traitement qui est fait et les types de filtres, beaucoup du type dont nous venons de parler, qui sont associés au traitement du signal thats fait dans la préparation de l'audio Pour les bandes. Alors laisse juste prendre une promenade dans la salle de contrôle et voir ce que nous voyons. C'est la salle de contrôle qui est utilisée pour la commutation de caméra. Son utilisé pour l'édition d'ordinateur et aussi le contrôle audio. Vous pouvez voir les moniteurs, et ceux-ci sont utilisés pour la commutation de l'appareil photo. Et c'est la console d'édition informatique qui est utilisé pour l'édition en ligne et hors ligne. Ce que je veux vraiment démontrer, dans le contexte de la conférence, c'est le panneau de contrôle audio, qui contient entre autres des filtres pour les fréquences hautes fréquences, les basses fréquences, et cetera, essentiellement les filtres d'égalisation. Et ce que nous avons en matière de filtrage est, tout d'abord, ce qu'on appelle un égaliseur graphique, qui consiste en un ensemble de filtres passe-bande, que je vais décrire un peu plus attentivement dans une minute. Et puis aussi, un panneau de contrôle audio, qui est ici et qui contient des circuits égaliseur séparés pour chacun d'un ensemble de canaux et aussi beaucoup de contrôles sur eux. Eh bien, permettez-moi de commencer dans la démonstration en démontrant un peu de ce que fait l'égaliseur graphique. Eh bien, ce que nous avons est un ensemble de filtres passe-bande. Et ce qui est indiqué ici sont les fréquences centrales des filtres, puis un commutateur de curseur pour chacun qui nous permet d'atténuer ou d'amplifier. Et c'est une échelle de dB. Donc, essentiellement, si vous regardez à travers cette banque de filtres avec la sortie totale de l'égaliseur juste être la somme des sorties de chacun de ces filtres, intéressant la position du curseur commutateurs que vous vous déplacez à travers ici, en effet, vous montre ce que La réponse en fréquence de l'égaliseur est. Vous pouvez donc modifier la forme globale du filtre en déplaçant les commutateurs vers le haut et vers le bas. À l'heure actuelle, l'égaliseur est éteint. Mettons l'égaliseur dans le circuit. Et maintenant je mets cette caractéristique de filtrage. Et ce que j'aimerais démontrer est le filtrage avec cela, lorsque nous faisons des choses qui sont un peu plus dramatiques que ce qui serait normalement fait dans un réglage d'enregistrement audio typique. Et pour ce faire, nous allons ajouter à ma voix de la musique pour le rendre plus intéressant. Pas que ma voix n'est pas intéressante comme elle est. Mais en tout cas, laissons de la musique. Et maintenant ce que je fais est de régler les basses fréquences à plat. Et laissez-moi sortir les hautes fréquences au-dessus de 800 cycles. Et maintenant, ce que nous avons, effectivement, est un filtre passe-bas. Et maintenant, avec le filtre passe-bas, permettez-moi de ramener les hauts. Et donc, j'apporte ces filtres passe-bande. Et maintenant laissez-moi couper les bas. Et vous entendrez les bas disparaître et, en effet, en gardant les hauts en crispens efficacement le son, soit ma voix ou la musique. Et enfin, laissez-moi revenir à l'égalisation de 0 dB sur chacun des filtres. Et ce que Ill aussi faire maintenant est de prendre l'égaliseur hors du circuit totalement. Maintenant, nous allons jeter un oeil au panneau de contrôle maître audio. Et ce panneau a, bien sûr, pour chaque canal et, par exemple, le canal en cours, d'un contrôle de volume. Je peux baisser le volume, et je peux augmenter le volume. Et il a également pour ce circuit d'égaliseur particulier, un ensemble de trois filtres passe-bande et boutons qui nous permettent soit de monter jusqu'à un gain de 12 dB soit une atténuation de 12 dB dans chacune des bandes, ainsi qu'un sélecteur qui nous permet Sélectionnez le centre de la bande. Permettez-moi de revenir un peu sur ce point. Et nous allons obtenir un plan rapproché de ce panneau. Donc, ce que nous avons, comme je l'ai indiqué, est trois filtres passe-bande. Et ces boutons que Im pointant ici sont des contrôles qui nous permettent pour chacun des filtres de mettre en jusqu'à un gain de 12 dB ou une atténuation de 12 dB. Il y a également avec chacun des filtres un sélecteur qui nous permet de régler la fréquence centrale du filtre. Il s'agit essentiellement d'un commutateur à deux positions. Il y a aussi, comme vous pouvez le voir, un bouton qui nous permet soit de mettre l'égalisation en ou hors. Actuellement, la péréquation est terminée. Mettons l'égalisation dans. Nous n'entendrons aucun effet de cela, parce que les contrôles de gain sont tous réglés à 0 dB. Et Ill veux illustrer sous peu l'effet de ces derniers. Mais avant moi, permettez-moi d'attirer votre attention sur un autre filtre, qui est ce commutateur blanc. Et ce commutateur est un filtre passe-haut qui coupe essentiellement les fréquences inférieures à environ 100 cycles. Donc, ce que cela signifie, c'est que si je mets ce commutateur, tout est plus ou moins plat au-dessus de 100 cycles. Et ce qui est utilisé pour, fondamentalement, est d'éliminer peut-être le bruit de cycle 60, si c'est le cas, ou un bourdonnement de basse fréquence ou quoi que ce soit. Eh bien, nous ne montrerons vraiment rien avec ça. Laissez aller maintenant avec la péréquation dans, démontrer l'effet de stimuler ou d'atténuer les fréquences basses et hautes. Et encore, je pense que pour démontrer cela, il illustre le point le mieux si nous avons un peu de musique de fond. Donc maître, si vous pouvez apporter cela. Et maintenant ce que je vais faire, c'est d'abord amplifier les basses fréquences. Et c'est ce que ce bouton potentiomètre fera. Donc maintenant, augmenter le gain de basse fréquence et, en fait, tout le chemin jusqu'à 12 dB quand j'ai le bouton sur autant que Ive allé ici. Et donc qui a un son très bassy. Et en fait, nous pouvons le rendre encore plus bass en prenant les hautes fréquences et en les atténuant de 12 dB. OK bien, permet de mettre quelques-unes des hautes fréquences de retour po Et maintenant, permet de tourner le gain de basse fréquence d'abord revenir à 0. Et maintenant étaient de retour à l'égalisation à plat. Et maintenant je peux tourner le gain de basse fréquence vers le bas afin que j'atténue les basses fréquences de beaucoup comme 12 dB. Et c'est là que nous sommes maintenant. Et donc cela a, bien sûr, un son beaucoup plus croustillant. Et pour améliorer les hauts encore plus, je peux, en plus de couper les bas, augmenter les hauts en mettant, encore, jusqu'à 12 dB. OK bien, laisse tomber la musique maintenant et retourne à aucune égalisation en réglant ces boutons à 0 dB. Et en fait, nous pouvons sortir l'égaliseur. Eh bien, c'est un regard rapide sur certains filtres du monde réel. Maintenant, laissons de s'arrêter de s'amuser, et nous allons retourner à la conférence. D'accord, c'est un peu en arrière-scène. Ce que j'aimerais faire maintenant, c'est de tourner notre attention vers des filtres à temps discret. Et comme je l'ai dit dans les conférences précédentes, il ya essentiellement deux classes de filtres à temps discret ou des équations de différence de temps discret. Une classe est référée à un filtre non récursif ou à moyenne mobile. Et l'idée de base avec un filtre de moyenne mobile est quelque chose que vous êtes quelque peu familier avec intuitivement. Pensez à la notion de prendre une séquence de données, et laisse supposer que ce que nous voulions faire était d'appliquer un certain lissage à la séquence de données. Nous pourrions, par exemple, penser à prendre des points adjacents, à les rapprocher ensemble, puis à déplacer cette moyenne le long de la séquence de données. Et ce que vous pouvez voir intuitivement, c'est que cela s'appliquerait un peu de lissage. Donc, en fait, l'équation des différences, disons, pour la moyenne mobile à trois points serait l'équation de différence que j'indique ici, simplement en prenant un point de données et les deux points de données adjacents et en formant une moyenne de ces trois. Donc, si nous pensions au traitement impliqué, si nous formions une valeur de séquence de sortie, nous prendrions trois points adjacents et les moyenne. Cela nous donnerait la sortie ajouter le temps associé. Et puis pour calculer le prochain point de sortie, nous allons tout simplement glisser ce point d'un point, la moyenne ces ensemble, et qui nous donnerait le point de sortie suivante. Et nous continuions, tout simplement glisser et calculer la moyenne pour former la séquence de données de sortie. Maintenant, thats un exemple de ce qui est communément appelé une moyenne mobile à trois points. En fait, nous pouvons généraliser cette notion de plusieurs manières. Une façon de généraliser la notion de moyenne mobile à partir de la moyenne mobile à trois points, que je résume ici, c'est d'envisager de l'étendre à un plus grand nombre de points et, en fait, d'appliquer des pondérations à celle-ci comme je l'ai indiqué ici Que, en plus de simplement résumer les points et diviser par le nombre de points somme, nous pouvons, en fait, appliquer des poids individuels aux points de sorte que son ce qui est souvent appelé une moyenne mobile de pondération. Et je montre ci-dessous une courbe possible qui pourrait résulter, où ceux-ci seraient essentiellement les poids associés à cette moyenne mobile pondérée. Et en fait, il est facile de vérifier que cela correspond effectivement à la réponse impulsionnelle du filtre. Eh bien, juste pour cimenter cette notion, laissez-moi vous montrer un exemple ou deux. Voici un exemple d'une moyenne mobile de cinq points. Une moyenne mobile de cinq points aurait une réponse impulsionnelle qui consiste simplement en un rectangle de longueur cinq. Et si ceci est convolué avec une séquence de données, cela correspondrait à prendre cinq points adjacents et, en effet, à les calculer en moyenne. Nous avons examiné précédemment la transformée de Fourier de cette séquence rectangulaire. Et la transformée de Fourier de celle, en fait, est de la forme d'une courbe sine n x sur sine x. Et comme vous pouvez le voir, c'est une approximation d'un filtre passe-bas. Il s'agit donc de la réponse impulsionnelle et de la réponse en fréquence d'un filtre passe-bas non-résiduel. Maintenant, il existe une variété d'algorithmes qui, en fait, vous dire comment choisir les poids associés à une moyenne mobile pondérée, dans un certain sens, la conception de meilleures approximations et sans entrer dans les détails de l'un de ces algorithmes. Permettez-moi de montrer le résultat du choix des poids pour la conception d'un filtre à moyenne mobile de 251 points, où les poids sont choisis en utilisant un algorithme optimal pour générer une coupure aussi nette que possible. Et donc ce que je montre ici est la réponse en fréquence du filtre résultant sur une échelle d'amplitude logarithmique et une échelle de fréquence linéaire. Remarquez qu'à cette échelle, la bande passante est très plate. Bien que voici une vue élargie de celui-ci. Et en fait, il a ce qui est considéré comme une caractéristique d'égalisation-ondulation. Et puis voici la bande de transition. Et ici nous avons à stopband, qui en fait est en baisse un peu plus de 80 dB et, encore une fois, a ce qui est considéré comme une caractéristique de ripple égal. Maintenant, la notion de moyenne mobile pour le filtrage est quelque chose qui est très couramment utilisé. J'avais montré la dernière fois en fait le résultat d'un filtrage sur une séquence de données particulière, le Dow Jones Industrial Average. Et très souvent, en regardant divers types de publications boursières, ce que vous verrez est la moyenne Dow Jones montré dans sa forme brute comme une séquence de données. Et puis très typiquement, vous verrez également le résultat d'une moyenne mobile, où la moyenne mobile pourrait être à l'ordre du jour, ou il pourrait être de l'ordre de mois. Toute la notion étant de prendre certaines des fluctuations aléatoires de haute fréquence hors de la moyenne et de montrer la basse fréquence, ou les tendances, sur une certaine période de temps. Laisse donc, en fait, revenir à la moyenne de Dow Jones. Et laissez-moi maintenant vous montrer ce que le résultat du filtrage avec un filtre de moyenne mobile ressemblerait à la même séquence moyenne industrielle Dow Jones que j'ai montré la dernière fois. Donc, une fois de plus, nous avons la moyenne Dow Jones de 1927 à environ 1932. En haut, nous voyons la réponse impulsionnelle de la moyenne mobile. Encore une fois, je vous rappelle sur une échelle de temps élargie, et ce qui est montré ici est la moyenne mobile avec un seul point. Ainsi, la sortie sur la trace inférieure est tout simplement identique à l'entrée. Maintenant, permet d'augmenter la longueur de la moyenne mobile à deux points. Et nous voyons qu'il ya une petite quantité de lissage, trois points et juste un peu plus de lissage, qui est inséré. Maintenant, une moyenne mobile de quatre points, et ensuite la moyenne mobile de cinq points, et une moyenne mobile de six points suivant. Et nous voyons que le lissage augmente. Maintenant, nous allons augmenter la longueur du filtre de moyenne mobile beaucoup plus rapidement et regarder comment la sortie est de plus en plus lisse par rapport à l'entrée. Encore une fois, je souligne que l'échelle de temps pour la réponse impulsionnelle est considérablement élargie en relation avec l'échelle de temps à la fois pour l'entrée et la sortie. Et encore une fois, grâce à la magie du filtrage, nous avons été en mesure d'éliminer l'Accident boursier de 1929. D'accord, nous avons vu des filtres de moyenne mobile, ou ce que l'on appelle parfois des filtres non récursifs. Et ils sont, comme je l'ai souligné, une classe très importante de filtres à temps discret. Une autre classe très importante de filtres à temps discret sont ce que l'on appelle des filtres récursifs. Les filtres récursifs sont des filtres pour lesquels l'équation des différences a une rétroaction de la sortie dans l'entrée. En d'autres termes, la sortie dépend non seulement de l'entrée, mais aussi des valeurs précédentes de la sortie. Par exemple, comme je l'ai souligné précédemment, une équation de différence récursive a la forme générale que j'indique ici, une combinaison linéaire de sorties pondérées sur le côté gauche et une combinaison linéaire d'entrées pondérées sur le côté droit. Et comme nous en avons parlé, nous pouvons résoudre cette équation pour la sortie courante y de n en termes d'entrées actuelles et passées et de sorties passées. Par exemple, juste pour interpréter cela, se concentrer sur l'interprétation de ce que comme un filtre, permet de regarder une équation de différence de premier ordre, dont weve parlé et généré la solution à précédemment. Donc, l'équation des différences de premier ordre serait comme je l'ai indiqué ici. Et en imposant la causalité sur ce, de sorte que nous supposons que nous courons ceci comme une avance récursive dans le temps, nous pouvons résoudre ceci pour y de n en termes de x de n et y de n moins 1 pondéré par le facteur a. Et j'indique simplement le diagramme pour cela. Mais ce que nous voulons examiner maintenant pour cette récursion de premier ordre est la réponse en fréquence et voir son interprétation comme un filtre. Eh bien, en fait, encore une fois, les mathématiques pour cela weve passé à travers dans la dernière conférence. Ainsi, en interprétant l'équation des différences de premier ordre comme système, ce que l'on cherche à générer est la réponse en fréquence, qui est la transformée de Fourier de la réponse impulsionnelle. Et de l'équation de différence, nous pouvons, bien sûr, résoudre pour l'un ou l'autre en utilisant les propriétés, en exploitant les propriétés, de la transformée de Fourier. En appliquant la transformée de Fourier à l'équation de différence, on obtiendra la transformée de Fourier de la sortie égale à la transformée de Fourier des temps d'entrée de ce facteur que nous connaissons de la propriété de convolution, en fait, est la réponse en fréquence du système . Il s'agit donc de la réponse en fréquence. Et bien sûr, la transformée de Fourier inverse de celle, que j'indique ci-dessous, est la réponse impulsionnelle du système. Nous avons donc la réponse en fréquence obtenue en appliquant la transformée de Fourier à l'équation de différence, la réponse impulsionnelle. And, as we did last time, we can look at that in terms of a frequency response characteristic. And recall that, depending on whether the factor a is positive or negative, we either get a lowpass filter or a highpass filter. And if, in fact, we look at the frequency response for the factor a being positive, then we see that this is an approximation to a lowpass filter, whereas below it I show the frequency response for a negative. And there this corresponds to a highpass filter, because were attenuating low frequencies and retaining the high frequencies. And recall also that we illustrated this characteristic as a lowpass or highpass filter for the first order recursion by looking at how it worked as a filter in both cases when the input was the Dow Jones average. And indeed, we saw that it generated both lowpass and highpass filtering in the appropriate cases. So for discrete-time, we have the two classes, moving average and recursive filters. And there are a variety of issues discussed in the text about why, in certain contexts, one might want to use one of the other. Basically, what happens is that for the moving average filter, for a given set a filter specifications, there are many more multiplications required than for a recursive filter. But there are, in certain contexts, some very important compensating benefits for the moving average filter. Now, this concludes, pretty much, what I want to say in detail about filtering, the concept of filtering, in the set of lectures. This is only a very quick glimpse into a very important and very rich topic, and one, of course, that can be studied on its own in an considerable amount of detail. As the lectures go on, what well find is that the basic concept of filtering, both ideal and nonideal filtering, will be a very important part of what we do. And in particular, beginning with the next lecture, well turn to a discussion of modulation, exploiting the property of modulation as it relates to some practical problems. And what well find when we do that is that a very important part of that discussion and, in fact, a very important part of the use of modulation also just naturally incorporates the concept and properties of filtering. Je vous remercie. Free DownloadsI have tried looking up various way to take my data from a text file and apply a smoothingmoving average filter (without a loop), but NOTHING I do seems to work. I may be completely approaching this wrong, but any help in the right direction would be appreciated The file I am working with is attached: SNdtotV2.txt This is my latest attempt, and while it finally gives me a plot display, it doesnt give me the original data or the smoothed data: Could anyone possible explain what Im doing wrong I simply want to smooth the data and get my plot Select Your Country